Ứng dụng 1

Ứng dụng 2

Ứng dụng 3

Ứng dụng 4

Ứng dụng 5

Ứng dụng 6

Ứng dụng 7

Ứng dụng 8
Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Lập phương trình bậc hai

Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số
Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm
Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm



Lý thuyết co bản
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a(0) (*)
Có hai nghiệm
;

Suy ra:



Vậy đặt : - Tổng nghiệm là S : S =

- Tích nghiệm là P : P =

Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với các hệ số a, b, c. Đây chính là nội dung của Định lí VI-ÉT, sau đây ta tìm hiểu một số ứng dụng của định lí này trong giải toán.

I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
1. Dạng đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) ( a.12 + b.1 + c = 0 ( a + b + c = 0
Như vây phương trình có một nghiệm
và nghiệm còn lại là

b) Nếu cho x =
1 thì ta có (*) ( a.(
1)2 + b(
1) + c = 0 ( a
b + c = 0
Như vậy phương trình có một nghiệm là
và nghiệm còn lại là

Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
1)
(1) 2)
(2)
Ta thấy :
Phương trình (1) có dạng a
b + c = 0 nên có nghiệm
và

Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm
và

Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
1.
2.

3.
4.

2. Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình :
Vídụ: a) Phương trình
. Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.
b) Phương trình
có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.
c) Cho phương trình :
, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình.
d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình :
, biết phương trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.

Bài giải:
a) Thay
v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc :


T ừ
suy ra

b) Thay
v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc


T ừ
suy ra

c) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử
và theo VI-ÉT ta có
, ta giải hệ sau:

Suy ra

d) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử
và theo VI-ÉT ta có
. Suy ra


Với
th ì

Với
th ì


II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm

Ví dụ : Cho
;
lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Theo hệ thức VI-ÉT ta có
vậy
là nghiệm của phương trình có dạng:


Bài tập áp dụng:
1. x1 = 8 và x2 = -3
2. x1 = 3a và x2 = a
3. x1 = 36 và x2 = -104
4. x1 =
và x2 =

2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình :
có 2 nghiệm phân biệt
. Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả